Спектральные свойства операторных матриц второго порядка
##plugins.themes.bootstrap3.article.main##
Аннотация
Настоящая монография посвящена изучению спектральных свойств
двух классов самосопряженных неограниченных операторных матриц
второго порядка, семейства обобщенных моделей Фридрихса и
операторной матрицы второго порядка, связанной с гамильтонианом
системы с не более чем тремя частицами на трехмерной решетке.
Определена структура числовой области значений обобщенной модели
Фридрихса, имеющая вид операторных матриц второго порядка, а также
найдены условия совпадения спектра и числовой области значений.
Получены оценки для границы компонент квадратичной числовой области
значений обобщенной модели Фридрихса. С помощью спектра семейства
обобщенных моделей Фридрихса определен существенный спектр
операторной матрицы второго порядка, связанной с системы с
несохраняющимся и не более чем тремя частицами. Выделены множества
спектрального параметра, для которых операторная матрица второго
порядка имеет конечное или бесконечное число собственных значений вне
существенного спектра. Более того, доказана что, если спектральный
параметр равно 6, то операторная матрица второго порядка имеет
бесконечное число собственных значений как слева, так и справа
существенного спектра
##plugins.themes.bootstrap3.article.details##
Библиографические ссылки
C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and
Applications. Imperial College Press, 2008.
D. Mattis. The few-body problem on lattice. Rev. Modern
Phys., 58 (1986), P. 361-379.
К.О. Фридрихс. Возмущение спектра операторов в
гильбертовом пространстве, Мир, М., 1969.
В.А. Малышев, Р.А. Минлос. «Кластеpные опеpатоpы»,
Тpуды семинаpа им. И.Г. Петpовского, 9 (1983), C. 63-80.
A.E. Lifschitz. Magnetohydrodynamics and spectral theory,
vol. 4 of Developments in Electromagnetic Theory and Applications.
Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1989.
B. Thaller. The Dirac equation. Texts and Monographs in
Physics. Springer, Berlin, 1992.
S. Albeverio, S.N. Lakaev, T.H. Rasulov. On the spectrum of
an Hamiltonian in Fock space. Discrete spectrum asymptotics. J. Stat.
Phys., 127:2 (2007), P. 191-220.
S. Albeverio, S.N. Lakaev, T.H. Rasulov. The Efimov effect
for a model operator associated with the Hamiltonian of a non
conserved number of particles. Methods Funct. Anal. Topology, 13:1
(2007), P. 1-16.
С.Н. Лакаев, Т.Х. Расулов. Об эффекте Ефимова в
модели теории возмущений существенного спектра. Функц.
анализ и его прил., 37:1, (2003), C. 81-84.
В.Н. Ефимов. Слабосвязанные состояния трех
резонансно взаимодействующих частиц. Ядер. физика, 12:5,
(1970), C. 1080-1091.
Д.Р. Яфаев. К теоpии дискpетного спектpа
тpехчастичного опеpатоpа Шpедингеpа. Мат. сб., 9:4 (136:8),
(1974), C. 567-592.
Yu.N. Ovchinnikov, I.M. Sigal. Number of bound states of
three-body systems and Efimov’s effect. Ann. Phys., 123:2, (1979), P.
-295.
A.V. Sobolev. The Efimov effect. Discrete spectrum
asymptotics. Comm. Math. Phys., 156, (1993), P. 101-126.
H. Tamura. The Efimov effect of three-body Schrӧdinger
operators: asymptotics for the number of negative eigenvalues.
Nagoya Math. J., 130, (1993), P. 55-83.
С.Н. Лакаев. О бесконечном числе тpехчастичных
связанных состояний системы тpех квантовых pешетчатых
частиц. ТМФ, 89:1, (1991), C. 94-104.
С.Н. Лакаев. Об эффекте Ефимова в системе тpех
одинаковых квантовых частиц. Функц. анализ и его пpил., 27:3,
(1993), C. 15-28.
С.Н.Лакаев, Ж.И.Абдуллаев. Спектральные свойства
разностного трехчастичного оператора Шрёдингера. Функц.
анализ и его прил., 33:2 (1999), C. 84–88.
С.Н. Лакаев, З.Э. Муминов. Асимптотика для числа
собственных значений трехчастичного опеатора Шредингера на
решетке. Функ. анализ и его прил. 37:3, (2003), C. 85-88.
Ж.И. Абдуллаев, С.Н. Лакаев. Асимптотика дискретного
спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера на
решетке. ТМФ, 136:2, (2003), C. 231-245.
S. Albeverio, S.N. Lakaev, Z.I. Muminov. Schrӧdinger
Operators on Lattices. The Efimov Effect and Discrete Spectrum
Asymptotics. Ann. Henri Poincarè, 5, (2004), P. 743-772.
М.Э. Муминов. О бесконечности числа собственных
значений на лакуне существенного спектра оператора
Шредингера трех частиц на решетке. ТМФ, 159:2 (2009), C. 299-
Ю.Х. Эшкабилов. Эффект Ефимова для одного
модельного “трехчастичного” дискретного оператора
Шредингера, ТМФ, 164:1 (2010), C. 78–87
M.I. Muminov, T.H. Rasulov. On the eigenvalues of a
2
block operator matrix. Opuscula Mathematica. 35:3 (2015), P. 369-
M.I. Muminov, T.H. Rasulov. Infiniteness of the number of
eigenvalues embedded in the essential spectrum of a
2
operator
matrix. Eurasian Mathematical Journal. 5:2 (2014), P. 60-77.
M.I. Muminov, T.H. Rasulov. Embedded eigenvalues of an
Hamiltonian in bosonic Fock space. Communications in Mathematical
Analysis. 17:1 (2014), P. 1-22.
O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von
Fejer. Math. Z. 2: 1-2 (1918), P. 187-197.
F. Hausdorff. Der Wertvorrateiner Bilinearform. Math. Z.
:1 (1919), P. 314-316.
A. Wintner. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen.
Math. Z. 30:1 (1929), P. 228-281.
H. Langer, A.S. Markus, V.I. Matsaev, C. Tretter. A new
concept for block operator matrices: the quadratic numerical range.
Linear Algebra Appl. 330:1-3 (2001), P. 89-112.
L. Rodman, I.M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of
operators. Integr. Equ. Oper. Theory. 71 (2011), P. 245-257.
W.S. Cheung, X. Liu, T.Y. Tam. Multiplicities, boundary
points and joint numerical ranges. Operators and Matrices 5:1 (2011),
P. 41-52.
H.L. Gau, C.K. Li, Y.T. Poon, N.S. Sze. Higher rank
numerical ranges of normal matrices. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 32
(2011), P. 23-43.
B. Kuzma, C.K. Li, L. Rodman. Tracial numerical range and
linear dependence of operators. Electronic J. Linear Algebra. 22
(2011), P. 22-52.
C.K. Li, Y.T. Poon. Generalized numerical range and
quantum error correction. J. Operator Theory 59 (2011), P. 335-351.
H.L. Gau. Elliptic numerical range of
4
matrices.
Taiwanese J. Math. 10:1 (2006), P. 117-128.
D. Henrion. Semidefinite geometry of the numerical range.
Electron J. Linear Algebra. 20 (2006), P. 322-332
K. Gustafson, K.M. Rao. Numerical range: The field of
values of linear operators and matrices, Berlin, Springer, 1997,
ArXiv+190 pp.
М. Рид, Б. Саймон. Методы современной
математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир.
(1982), 430 с.
М.Ш. Бирман, М.З. Саломяк. Спектральная теория
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.
Ленинград, Изд. Ленинградского университета. (1980), 264 с.
H. Langer, C. Tretter. Spectral decomposition of some
nonselfadjoint block operator matrices. J. Operator Theory, 39:2
(1998), P. 339-359.
C. Tretter. Spectral inclusion for unbounded block operator
matrices. J. Func. Anal., 256 (2009), P. 3806-3829.
Т.Х. Расулов, Г.И. Ботиров. Численный диапазон
обобщенной модели Фридрихса. УзМЖ, 2(2013), 72-81.
Т.Х. Расулов, Х.Х. Турдиев. Некоторые спектральные
свойства обобщенной модели Фридрихса. Вестн. Сам. гос. техн.
ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 23: 2 (2011), C. 181-188.
V.V. Kostrykin, K.A. Makarov, A.K. Motovilov.
Perturbation of spectra and spectral spaces. Trans. Amer. Math. Soc.,
:1 (2007), P. 77-89.
Ю.В. Жуков, Р.А. Минлос. Спектр и рассеяние в модели
“спин-бозон” с не более чем тремя фотонами. ТМФ, 103:1(1995),
C. 63-81.
С.Н. Лакаев, Т.Х. Расулов. Модель в теории возмущений
существенного спектра многочастичных операторов. Матем.
заметки, 73:4 (2003), C. 556-564.
С.Н. Лакаев, М.Э. Муминов. Существенный и
дискретный спектр трехчастичного оператора Шредингера на
решетке. ТМФ, 135:3, (2003), C. 478-503.
K.O. Friedrichs. Perturbation of spectra in Hilbert space.
Amer. Math. Soc. Providence, Rhole Island, 1965.
V.A. Malishev, R.A. Minlos. Linear infinite-particle
operators. Translations of Mathematical Monographs. 143, AMS,
Providence, RI, 1995.
R.P. Feyman. Statistical mechanics: a set of lectures (2nd
ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1998, Р. 151.
M. Muminov, H. Neidhardt, T. Rasulov. On the spectrum of
the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case. Journal
of Mathematical Physics, 56 (2015), 053507.
Т.Х. Расулов. О ветвях существенного спектра
решетчатой модели спин-бозон с не более чем двумя фотонами.
ТМФ, 186:2 (2016), C. 293-310.
Т.Х. Расулов, Э.Б. Дилмуродов. Бесконечность числа
собственных значений
2 −
операторных матриц. Асимптотика
дискретного спектра. ТМФ, 205:3 (2020), C. 368-390.
T.H. Rasulov, E.B. Dilmurodov. Eigenvalues and virtual
levels of a family of
2
operator matrices. Methods of Functional
Analysis and Topology. 25:3 (2019), P. 273-281.
T.H. Rasulov, E.B. Dilmurodov. Analysis of the spectrum of
a
2
operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems:
Physics, Chemistry, Mathematics, 11:2 (2020), P. 138-144.
T.H. Rasulov, E.B. Dilmurodov. Threshold analysis for a
family of
2
operator matrices. Nanosystems: Physics, Chemistry,
Mathematics, 10:6 (2019), P. 616-622.
Т.Х. Расулов, Э.Б. Дилмуродов. Исследование числовой
области значений одной операторной матрицы. Вестн. Сам. гос.
техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 35:2 (2014), C. 50-63.
E.B. Dilmurodov. New branches of the essential spectrum ofa2 2
operator matrix. Uzbek Mathematical Journal, 2 (2020), P. 44-51.
Э.Б. Дилмуродов. О виртуальных уровнях одного
семейства матричных операторов порядка 2. Научный вестник
БухГУ, 1 (2019), C. 42-46.
Т.Х. Расулов, Э.Б. Дилмуродов. Оценки для
квадратичной числовой области значений одной операторной
матрицы. Узбекский математический журнал, 1 (2015), C. 64-74.